여기서 얘기해 보고 싶은 것은 저항의 합성입니다. 여러 개의 저항이 복잡하게 연결되었을 때, 최종적으로 시작점에서 끝점까지의 최종 저항은 얼마가 될 지를 계산하는 것입니다. 물론, 여기서는 저항만 고려할 수 있는 완벽한 상황이라고 가정합니다.
여기에서 가져갈 특징은 각 지점마다 들어온 전기의 총 합과 나간 전기의 총 합이 같다는 점입니다. 이 법칙은 키르히호프의 전류 법칙(Kirchhoff’s current law, KCL)이라고 합니다.
그러면, 최종 저항 값을 계산하기 위해, 필요한 값들을 모조리 변수화 해 보겠습니다. 일단 이 회로도 결국에는 Graph Theory에서 이야기하는 graph라 볼 수 있기 때문에, $(P, E)$라 볼 수 있습니다. 원래 graph는 $(V, E)$를 쓰는데, 전압도 $V$를 사용하는 관계로, $V$대신 $P$를 쓰겠습니다. 먼저, 각 지점마다 전압 값을 변수로 둡니다. $p \in P$에 대해서 $V_p$ 값들이 변수가 됩니다. 대신, 시작점 $s$에서는
\[V_s = 0\]이라 둡니다. 결국 전압이라는게 상대적인 것이기 때문에, 시작 저점을 기준으로 하겠다는 것입니다. 그 다음 각 저항마다 흐르는 전류를 변수로 둡니다. $(u, v) \in E$에 대해서 $I_uv$를 변수로 설정합니다. 여기서 $I_{uv} = -I_{vu}$라 할 수 있습니다. 옴의 법칙을 적용해서,
\[I_{uv} R_{uv} = V_v - V_u\]라는 식을 새울 수 있습니다. 그리고 KCL을 이용해서 시작 지점과 끝 지점이 아닌 $v \in P$에 대해서 $v$와 연결된 $u \in P, (v, u) \in E$들을 찾을 수 있고,
\[\sum_{u} I_{vu} = 0\]이라는 식을 새울 수 있습니다. 마지막으로 하나의 식을 더 추가하자면, 시작 지점($s$)의 들어오는 전류와 끝 지점($t$)의 전류가 같고 그 값을 1이라 두겠습니다.
\[\sum_{u} I_{su} = \sum_{u'} I_{u't} = 1\]식을 모두 새웠습니다. 방정식을 풀어 $V_t$값을 구할 수 있습니다. 이 값은 끝 지점의 전압입니다. $V=IR$에서 $V = V_t - V_s = V_t$가 되고, $I = 1$이라 두었기 때문에, 최종 $R$을 알 수 있습니다.
예전에 이 값을 계산할 당시에는 키르히호프의 전압 법칙만을 알고 있었기 때문에, cycle을 찾기 위해 고생을 했는데, 사실 그럴 필요가 없었네요. 다음에 몇가지 예시를 보도록 하겠습니다.